Длина это какое свойство

Отрезок — это геометрическая фигура, которая имеет начало и конец, значит отрезки можно измерять.

Измерить отрезок — значит найти его длину(расстояние между его концами).

Для того, чтобы найти длину отрезка, его сравнивают с отрезком принятым за единицу измерения, который носит название единичный отрезок.

Если за единицу измерения принять сантиметр, то, чтобы определить длину отрезка, нужно узнать сколько раз в этом отрезке укладывается сантиметр. На рис.1 в отрезке СD сантиметр укладывается ровно три раза, значит, длина отрезка СD равна 3 см, можно записать СD = 3 см. В данном случае, для измерения удобно использовать сантиметровую линейку.

Бывает, что единичный отрезок не укладывается целое число раз в измеряемый отрезок, тогда единичный отрезок делят на 10 равных частей и определяют сколько раз одна десятая часть укладывается в остатке измеряемого отрезка. На рис.2 в отрезке СВ сантиметр укладывается 2 раза и в остатке 3 раза укладывается одна десятая часть сантиметра, значит, длина отрезка СВ равна 3,3 см или, учитывая что для сантиметра десятая часть равна миллиметру, 3 см 3 мм, т.е. можно записать СВ = 3,3 см (СВ = 3 см 3 мм).

Может получится так, что и в миллиметрах остаток не укладывается целое число раз, тогда:

• Если нужны более точные измерения, то процесс деления продолжается, т.е. миллиметр также можно разделить на 10 равных частей и т.д. Такая точность в повседневной жизни не нужна, поэтому пользуются приближенными значениями, но имеет важную роль при проведении каких-либо исследований для совершения научных открытий.

За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и другие отрезки, например, дециметр, метр и т.д.

Длина отрезка — это всегда какое-то положительное число.

Свойства длин отрезков:

1. Равные отрезки имеют равные длины.
2. Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков. Так на Рис.4 точка С делит отрезок АВ на два отрезка АС и СВ. Приложим линейку и видим, что АС = 4,5 см, СВ = 2,5 см, АВ = 7 см, т.е. АС + СВ = АВ.

3. Если длина одного отрезка MN в n раз больше длины другого отрезка PQ, то записывают MN = nPQ. На Рис.5 даны два отрезка MN и PQ, приложим к ним линейку и видим, что MN = 8 см, PQ = 2 см, т.е. MN больше PQ в 4 раза, тогда можно записать, что MN = 4PQ.

Лекция 10. Длина отрезка и её измерение.

Понятие длины отрезка и ее измерения используется во многих областях деятельности человека и научных исследованиях. Поэтому рассмотрим эту величину более детально.

Определение. Длиной отрезка называется положительная величина, определенная для каждого отрезка, так, что: 1) равные отрезки имеют равные длины; 2) если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.

Процесс измерения длины отрезков выглядит так. Из множества отрезков выбирают какой-нибудь отрезок е и принимают его за единицу длины. На отрезке а, длину которого измеряют, от одного из его концов откладывают последовательно отрезки, равные е, до тек пор, пока это возможно. Если отрезки, равные е, отложились n раз и конец последнего отрезка совпал с концом отрезка а, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число n и пишут а = n е. Если же отрезки, равные е, отложились n раз, и еще остался остаток, меньший е, то на нем откладывают отрезки, равные е1 = 110 е. Если они отложились ровно n1раз, то тогда а = n, n1 е, и значение длины отрезка есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок е1 отложился n1 раз и остался еще остаток, меньший е1, то на нем откладывают отрезки, равные е2= 1100е1. Если представить этот процесс бесконечно продолженным, то получим, что значение длины отрезка а есть бесконечная десятичная дробь. Таким образом, при выбранной единице длины длина любого отрезка выражается положительным действующим числом. Вполне очевидно, что верно и обратное: если дано положительное действительное число, то всегда можно построить отрезок, численное значение которого выражается этим действительным числом.

Нетрудно доказать следующие свойства длин отрезков.

1. При выбранной единице длины длина любого отрезка выражается положительным действительным числом и для каждого положительного действительного числа есть отрезок, длина которого выражается этим числом.

2. Если два отрезка равны, то и численные значения их длин также равны, и обратно: если численные значения длин отрезков равны, то и равны сами отрезки, т.е. а = в mе (а) = mе (в).

3. Если данный отрезок равен сумме нескольких отрезков, то численное значение его длины равно сумме численных значений длин отрезков слагаемых и, обратно, если численное значение длины отрезка равно сумме численных значений отрезков слагаемых, то и сам отрезок равен сумме этих отрезков, т.е. с = а + в mе (с) = mе (а) + mе (в).

4. Если длины отрезков а и в таковы, что в = х ∙ а, где х – положительное действительное число и длина отрезка а измерена при помощи единицы измерения е, то, чтобы найти численное значение отрезка в при единице измерения е, достаточно число х умножить на численное значение длины отрезка а при единице измерения е, т.е. в = х а mе (в) = х mе (а).

5. При замене единицы измерения длины численное значение длины отрезка увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица измерения длины отрезка меньше (больше) старой. Из других свойств длины отрезков отметим следующие.

6.а > в mе (а) >mе (в);

7.с = а — в mе (с) = mе (а) — mе (в);

8.х = а : в х = mе (а) : mе (в).

Все эти свойства позволяют сравнение длин отрезков и действия над ними сводить к сравнению и действием над соответствующими числовыми значениями длин этих отрезков. На практике, сравнивая длины отрезков и выполняя действия над длинами отрезков, теоретические положения, сформулированные выше, используются неявно.

Примеры.

1. 12 м < 12,3 м, так как 12 < 12,3.

2. 8,8 см + 3,4 см = (8,8 + 3,4) см = 12,2 см.

3. 18 ∙ 3 дм = (18 ∙ 3) дм = 54 дм.

Приводим несколько типичных задач.

Задача 1. Постройте отрезок, длина которого 3,2Е. Каким будет численное значение длины этого отрезка, если единицу длины Е увеличить в 3 раза?

Решение. Построим произвольный отрезок и будем считать его единичным. Затем построим прямую, отметим на ней точку А и отложим от нее 3 отрезка, длины которых равны Е. Получим отрезок АВ, длина которого 3Е. Чтобы получить отрезок длиной 3,2Е, надо ввести новую единицу длины. Для этого единичный отрезок надо разбить либо на 20 равных частей, либо на 5, поскольку 0,2 = 15. Если от точки В отложить отрезок, равный 15 единичного, то длина отрезка АС будет равна 3,2Е.

Чтобы выполнить второе требование задачи, воспользуемся свойством 3, согласно которому при увеличении единицы длины в 3 раза численное значение длины данного отрезка уменьшается в 3 раза. Разделим 3,2 на 3, получим: 3,2 : 3 = 3 15 : 3 = 1615 = 1115.

Таким образом, при единице длины 3Е численное значение длины построенного отрезка АС будет равно 1115.

Задача 2. Начертите два отрезка: длина первого – 8 см, а другой – в 2 раза длиннее. Чему равна длина второго отрезка?

Решение. 1 способ. Строят отрезок 6 см, а затем на луче ОА последовательно откладывают 2 равных отрезка длиной 6 см. Полученный отрезок ОА является искомым, его длина: 2 ∙ 6 (см) = 12 (см). 2 способ. Находят длину второго отрезка: 2 ∙ 6 (см) = 12 (см), а затем строят два отрезка: один – длиной 6 см, а другой – длиной 12 (см).

Задача 3. Отрезок длиной 18 см разделите на две равные части. Решение. Поскольку не выделена операция деления длины отрезка на натуральное число, то мы воспользуется тем, что деление на натуральное число равносильно умножению ее на дробь 1n. В связи с этим получаем: 18 (см) : 2 = 18 см ∙ 12 = 8 ∙12 см = 9 см. Ответ: 9 см.

В заключение приводим таблицу мер длины. 1 сантиметр (см) = 10 миллиметрам (мм); 1 дециметр (дм) = 10 сантиметрам (см); 1 метр (м) = 10 дециметрам (дм) = 100 сантиметрам (см); 1 километр (км) = 1000 метрам (м).