Что такое неопределенный интеграл и какие у него свойства

Определение первообразной

Для начала, дадим определение понятиям, которые будут использоваться в данном разделе. В первую очередь это первообразная функции. Для этого введем константу C.

Определение 1

Первообразная функции f(x) на промежутке (a; b) это такая функция F(x), при которое формула F'(x)=f(x) превращается в равенство для любого x из заданного промежутка.

Следует учитывать тот факт, что производная от константы C будет равна нулю, что позволяет нам считать верным следующее равенство F(x)+C’=f(x).

Получается, что функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы C. Эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла

Все множество первообразных функции f(x) можно назвать неопределенным интегралом этой функции. С учетом этого формула будет иметь вид ∫f(x)dx=F(x)+C. При этом, выражение f(x)dx является подынтегральным выражением, а f(x) – это подынтегральная функция. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Имея заданный дифференциал функции, мы можем найти неизвестную функцию.

Результатом неопределенного интегрирования будет не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

• Зная свойства производной, мы можем сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

∫f(x)dx’=F(x)+C’=f(x)

• Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

∫d(F(x))=∫F'(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C

• Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

∫k·f(x)dx=k·∫f(x)dx, где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

• Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

∫f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла мы привели в качестве пояснения.

Для того, чтобы доказать третье и четвертое свойства, необходимо найти производные от правых частей равенств:

k·∫f(x)dx’=k·∫d(x)dx’=k·f(x)∫f(x)dx±∫g(x)dx’=∫f(x)dx’±∫g(x)dx’=f(x)±g(x)

Производные правых частей равенств равны подынтегральным функциям, что является доказательством первого свойства. Его же мы используем в последних переходах.

Как видите, задача интегрирования представляет собой обратный процесс по отношению к задаче дифференцирования. Обе эти задачи тесно связаны между собой.

Первое свойство может быть использовано для проведения проверки интегрирования. Для проверки нам достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная функция будет равна подынтегральной функции, то интегрирование проведено верно.

Благодаря второму свойству по известному дифференциалу функции мы можем найти ее первообразную и использовать ее для вычисления неопределенного интеграла.

Рассмотрим пример.

Пример 1

Пример 2

Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.

Подробнее эту тему мы рассмотрим в следующем разделе  «Таблица первообразных (таблица неопределенных интегралов)».

Ранее нами была рассмотрена задача о нахождении мгновенной скорости материальной точки по заданному закону ее движения. Если (s=s(t)) — путь, пройденный точкой за время (t) от начала движения, то мгновенная скорость (v) в момент (t) равна производной функции (s(t)), то есть
$$
v=s'(t).nonumber
$$
В физике встречается обратная задача: по заданной скорости (v=v(t)) найти закон движения, то есть найти такую функцию (s(t)) производная которой равна (v(t)).

Первообразная.

Пусть функции (f(x)) и (F(x)) определены на интервале ((a,b)). Если функция (F(x)) имеет производную на интервале ((a,b)) и если для всех (xin (a,b)) выполняется равенство
$$
F'(x)=f(x),label{ref1}
$$
то функция (F(x)) называется первообразной для функции (f(x)) на интервале ((a,b)).

Справедливо и обратное утверждение.

Таким образом, для данной функции (f(x)) ее первообразная (F(x)) определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Для того чтобы из совокупности первообразных выделить какую-либо первообразную (F_1(x)), достаточно указать точку (M_0(x_0,y_0)), принадлежащую графику функции (y=F(x)).

Понятие неопределенного интеграла.

Подынтегральное выражение можно записать в виде (F'(x)) или в виде (dF(x)), то есть
$$
f(x)dx=dF(x).label{ref4}
$$

Операцию нахождения неопределенного интеграла от данной функции, которая является обратной операции дифференцирования, называют интегрированием. Поэтому любую формулу для производной, то есть формулу вида (F'(x)=f(x)), можно записать в виде eqref{ref3}.

Используя таблицу производных, можно найти интегралы от некоторых элементарных функций. Например, из равенства ((sin x)’=cos x) следует, что (displaystyle intcos x dx=sin x+C).

Свойства неопределенного интеграла.

Согласно формуле eqref{ref5} знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, если знак дифференциала стоит перед знаком интеграла.

Соотношение eqref{ref6} показывает, что и в случае, когда знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, эти знаки также взаимно уничтожается (если отбросить постоянную (C)).

Таким образом, интегрирование обладает свойством линейности: интеграл от линейной комбинации функций равен соответствующей линейной комбинации интегралов от рассматриваемых функций.

Дальнейшее расширение множества функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции, можно получить, если воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции и правилом дифференцирования произведения двух функций.

Метод замены переменного (метод подстановки).

Пусть функция (t=varphi(x)) определена и дифференцируема на промежутке (Delta) и пусть (Delta_i=varphi(Delta)) — множество значений функции (varphi) на (Delta).

Если функция (U(t)) определена и дифференцируема на (Delta_i), причем
$$
U'(t)=u(t),label{ref8}
$$
то на промежутке (Delta) определена и дифференцируема сложная функция (F(x)=U(varphi(x))) и
$$
F'(x)=left[U(varphi(x))right]’=U'(varphi(x))varphi'(x)=u(varphi(x))varphi'(x).label{ref9}
$$

Из равенств eqref{ref8} и eqref{ref9} следует, что если (U(t)) — первообразная для функции (u(t)), то (U(varphi(x))) — первообразная для функции (u(varphi(x))varphi'(x)). Это означает, что если
$$
int u(t) dt = U(t) + C,label{ref10}
$$
то
$$
int u(varphi(x))varphi'(x)dx=U(varphi(x)) + C,label{ref11}
$$
или
$$
int u(varphi(x))dvarphi(x)= U(varphi(x)) + C.label{ref12}
$$

Формулу eqref{ref12} (или формулу eqref{ref11}) называют формулой интегрирования заменой переменного. Она получается из формулы eqref{ref10}, если вместо (t) подставить дифференцируемую функцию (varphi(x)).

Отметим важные частные случаи формулы eqref{ref12}.

1. Пусть (F(x)) — первообразная функции (f(x)), то есть
   $$
   int f(x) dx = F(x) + C.nonumber
   $$Тогда
   $$
   int f(ax+b)dx=frac{1}{a}F(ax+b)+C,quad aneq 0.label{ref13}
   $$
   Здесь (varphi(x)=ax+b), (f(ax+b)=displaystyle frac{1}{a}f(ax+b)d(ax+b)).
2. Используя равенство
   $$
   int frac{dt}{t}=operatorname{ln}|t|+C,nonumber
   $$
   получаем
   $$
   int frac{dvarphi (x)}{varphi (x)}=int frac{varphi'(x)dx}{varphi (x)}=operatorname{ln}|varphi(x)|+C,quad если varphi(x)neq 0.label{ref14}
   $$
3. Так как
   $$
   int t^{alpha}dt=frac{t^{alpha+1}}{alpha+1}+C,quad alphaneq -1,quad t > 0,nonumber
   $$
   , то
   $$
   int (varphi(x))^{alpha}varphi'(x)dx=int (varphi(x))^{alpha}dvarphi(x)=frac{(varphi(x))^{{alpha}+1}}{alpha+1}+C,label{ref15}
   $$
   где (varphi(x) > 0, alphaneq -1).

Приведем примеры применения формул eqref{ref13}-eqref{ref15}.

Приведем таблицу интегралов, полученную из соответствующей таблицы производных. Сюда включены интегралы, найденные в примерах 8-11.

$$
int x^{alpha}dx=frac{x^{alpha+1}}{alpha+1}+C,quad alphaneq -1.nonumber
$$
$$
int frac{dx}{x+a}=operatorname{ln}|x+a|+C.nonumber
$$
$$
int a^xdx=frac{a^x}{operatorname{ln}a}+C,quad a > 0, aneq 1.nonumber
$$
$$
int e^xdx=e^x+C.nonumber
$$
$$
int sin x dx=-cos x+C.nonumber
$$
$$
int cos x dx=sin x+C.nonumber
$$
$$
int frac{dx}{cos^2 x }=operatorname{tg}x+C.nonumber
$$
$$
int frac{dx}{sin^2 x}=-operatorname{ctg}x+C.nonumber
$$
$$
int operatorname{sh}x dx=operatorname{ch}x+C.nonumber
$$
$$
int operatorname{ch}x dx=operatorname{sh}x+C.nonumber
$$
$$
int frac{dx}{operatorname{ch}^2 x}=operatorname{th}x+C.nonumber
$$
$$
int frac{dx}{operatorname{sh}^2 x}=-operatorname{cth}x+C.nonumber
$$
$$
int frac{dx}{x^2+a^2}=frac{1}{a}operatorname{arctg}frac{x}{a}+C,quad a > 0.nonumber
$$
$$
int frac{dx}{a^2-x^2}=operatorname{arcsin}frac{x}{a}+C,quad a > 0.nonumber
$$
$$
int frac{dx}{x^2-a^2}=frac{1}{2a}operatorname{ln}left|frac{x-a}{x+a}right|+C,quad aneq 0.nonumber
$$
$$
int frac{dx}{sqrt{x^2+a}}=operatorname{ln}|x+sqrt{x^2+a}|+C.nonumber
$$

Иногда бывает целесообразно при вычислении интеграла
$$
J = int f(x)dxlabel{ref16}
$$
перейти к новой переменной.

Пусть (x=varphi (t)) — строго монотонная и дифференцируемая функция. Тогда она имеет обратную функцию
$$
t=omega (x).label{ref17}
$$

Преобразуя подынтегральное выражение в интеграле eqref{ref16} с помощью подстановки (x=varphi (t)) получаем (f(x) dx = f(varphi(t))varphi'(t)dt). Обозначим (u(t)=f(varphi(t))varphi'(t)), тогда
$$
f(x) dx = u(t) dt.label{ref18}
$$

Пусть (U(t)) — первообразная для функции (u(t)), тогда
$$
int u(t) dt = U(t) + C.label{ref19}
$$
Из равенств eqref{ref16}-eqref{ref19} находим
$$
J = int f(x) dx = int u(t)dt = U(t) + C = U(omega(x)) + C.label{ref20}
$$

Формулу eqref{ref20} называют формулой интегрирования подстановкой. Согласно этой формуле для вычисления интеграла eqref{ref16} достаточно подобрать такую обратимую дифференцируемую функцию (x=varphi(t)) с помощью которой подынтегральное выражение (f(x)dx) представляется в виде (u(t) dt), причем первообразная для функции (u(t)) известна.

Метод интегрирования по частям.

Пусть функции (u(x)) и (v(x)) имеют непрерывные производные на промежутке (Delta). Тогда функция (uv) также имеет непрерывную производную на (Delta) и согласно правилу дифференцирования произведения выполняется равенство
$$
uv’=(uv)’-vu’.nonumber
$$

Интегрируя это равенство и учитывая, что
$$
int (uv)’dx=uv + C,nonumber
$$
получаем
$$
int uv’dx = uv + C — int vu’ dx.nonumber
$$

Относя произвольную постоянную (C) к интегралу (displaystyle int vu’dx), находим
$$
int uv’dx = uv-int vu’dx,label{ref21}
$$
или
$$
int udv = uv-int vdu,label{ref22}
$$

Формула eqref{ref21} или eqref{ref22} называется формулой интегрирования по частям. Она сводит вычисление интеграла (displaystyle udv) к вычислению интеграла (displaystyle vdu).