Что такое натуральный ряд какими свойствами он обладает
Натуральные числа и их свойства
Для счёта предметов в жизни используют натуральные числа. В записи любого натурального числа используются цифры $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
Последовательность натуральных чисел, каждое следующее число в котором на $1$ больше предыдущего, образует натуральный ряд, который начинается с единицы (т.к. единица- самое маленькое натуральное число) и не имеет наибольшего значения, т.е. бесконечен.
Нуль не относят к натуральным числам.
Свойства отношения следования
Все свойства натуральных чисел и операций над ними следуют из четырех свойств отношений следования, которые были сформулированы в $1891$ г. Д.Пеано:
Единица- натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.
За каждым натуральным числом следует одно и только одно число
Каждое натуральное число, отличное от $1$, следует за одним и только одним натуральным числом
Подмножество натуральных чисел, содержащее число $1$, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа.
Готовые работы на аналогичную тему
Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Если запись натурального числа состоит из одной цифры его называют однозначным (например, $2,6.9$ и т.д.), если запись состоит из двух цифр-двузначным(например,$12,18,45$) и т.д. по аналогии. Двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. числа называют в математике многозначными.
Свойство сложения натуральных чисел
Переместительное свойство: $a+b=b+a$
Сумма не изменяется при перестановке слагаемых
Сочетательное свойство: $a+ (b+c) =(a+b) +c$
Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом, к полученной сумме- второе слагаемое
От прибавления нуля число не измениться и если прибавить к нулю какое- нибудь число, то получится прибавленное число.
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа $a-(b+c) =a-b-c$ если $b+c ≤ a$
Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем из полученной разности- второе слагаемое
Свойство вычитания числа из суммы $(a+b) -c=a+(b-c)$, если $c ≤ b$
Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое
Если из числа вычесть нуль, то число не изменится
Если из числа вычесть его само, то получится нуль
Свойства умножения
Переместительное $acdot b=bcdot a$
Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей
Сочетательное $acdot (bcdot c)=(acdot b)cdot c$
Чтобы умножить число на произведение двух чисел,можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель
При умножении на единицу произведение не изменяется $mcdot 1=m$
При умножении на нуль произведение равно нулю
Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо
Свойства умножения относительно сложения и вычитания
Распределительное свойство умножения относительно сложения
$(a+b)cdot c=ac+bc$
Для того чтобы умножить сумму на число,можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения
Например, $5(x+y)=5x+5y$
Распределительное свойство умножение относительно вычитания
$(a-b)cdot c=ac-bc$
Для того,чтобы умножить разность на число,множно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе
Например, $5(x-y)=5x-5y$
Сравнение натуральных чисел
Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ может выполняться только одно из трех соотношений $a=b$, $a
Меньшим считается число, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим, которое появляется позже. Нуль меньше любого натурального числа.
если $a
Пример 1
Сравнить числа $a$ и $555$, если известно, что существует некоторое число $b$, причем выполняются соотношения: $a
Решение: На основании указанного свойства ,т.к. по условию $a
в любом подмножестве натуральных чисел, содержащем хотя бы одно число, есть наименьшее число
Подмножеством в математике называют часть множества. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества
если $a
Если $c
Часто для сравнения чисел находят их разность и сравнивают ее с нулем. Если разность больше $0$, но первое число больше второго, если разность меньше $0$, то первое число меньше второго.
Округление натуральных чисел
Когда полная точность не нужна, или не возможна ,числа округляют,т.е заменяют их близкими числами с нулями на конце.
Натуральные числа округляют до десятков, сотен,тысяч и т.д
При округлеии числа до десятков его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых десятков; у такого числа в разряде единиц стоит цифра $0$
При округлеии числа до сотен его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых сотен; у такого числа в разряде десятков и единиц должна стоять цифра $0$. И т.д
Числа,до которых округляют данное называют приближенным значением числа с точностью до указанных разрядов.Например если округлять число $564$ до десятков то получим, что округлить его можно с недостатком и получить $560$, или с избытком и получить $570$.
Правило округления натуральных чисел
Если справа от разряда, до которого округляют число, стоит цифра $5$ или цифра,большая $5$, то к цифре этого разряда прибавляют $1$; в противном случае эту цифру оставляют без изменения
Все цифры, расположенные правее разряда, до которого округляют число ,заменяют нулями
Урок математики в 1 классе. (Система Л. В. Занкова)
Натуральный ряд чисел. Свойства натурального ряда
Учитель: Яковлева Ольга Николаевна.
Тип урока: Урок «открытия» нового знания.
Цель: Создать условия для формирования и освоения учащимися способа действия, позволяющего осознано применять приобретённые знанаия.
Предметные: имеет представление что такое натуральный ряд. Умеет записывать натуральный ряд чисел.
Метапредметные: Анализирует как располагаются числа в натуральном ряду.
Личностные: Развивает навык сотрудничества со взрослыми и сверстниками. Находит выход в спорной ситуации.
Деятельность учителя
Деятельность ученика
1.Эмоциональный настрой
День становится всё короче, а ночь длиннее. По дороге в школу совсем не видно солнышко. И на улице с каждым днём становится холоднее. Прикоснитесь ладошками друг к другу, почувствуйте тепло, улыбнитесь. Сразу в классе стало уютнее, теплее и светлее.
Теперь я вижу, что у вас хорошее настроение. А что ещё надо для успешной работы на уроке?
Сейчас я проверю, насколько вы внимательны.
Дети прикасаются ладошками друг к другу и улыбаются.
Ответы детей: Быть внимательным, не отвлекаться, не вертеться и т.д
2. Актуализация знаний
Найдите в тетрадке точку. И с этой клеточки запишите числа, которые будут у вас при счёте.
- Яблоки в саду поспели.
Мы отведать их успели
5 румяных наливных,
3 с кислинкой. Сколько их?
- Дядя ёжик в сад пошёл
И 7 спелых груш нашёл.
5 из них отдал зайчатам.
Сколько груш принёс ежатам.
- Именины у синицы: В гости собрались птицы
Птичек дружная семья:
2 весёлых соловья, 2 скворца, кукушка,
Грач и стриж.
Сколько всего гостей?
- По тропинке заяц шёл.
2 грибочка он нашёл.
Походил вокруг осин
И нашёл ещё один.
Сколько всего грибов нашёл заяц?
Какие числа вы записали? Для чего они были вам нужны? Как, одним словом можно назвать все эти числа?
Какие задания можно предложить выполнить с этими числами?
Дети в тетрадке записывают числа – ответы на задачки.
8 2 7 3
Числа нужны были для счёта предметов. Это натуральные числа.
Учащиеся предлагают различные задания и выполняют их. (Записать с этими числами неравенства, записать эти числа в порядке возрастания или убывания)
Когда вы записали числа в порядке возрастания, можете ли вы сказать, что у вас получился числовой ряд?
Тогда могу ли я сказать, что это натуральный ряд чисел?
Тогда попробуйте сформулировать тему нашего урока?
Что бы вы хотели узнать про этот ряд?
Предположения и объяснения детей.
Мнения детей могут разделиться, одни согласны, другие нет.
«Натуральный ряд чисел»
Как его записать, где начало и конец, какой порядок в ряду.
3. Решение проблемы
Где мы можем найти ответы на свои вопросы?
Я предлагаю вам открыть учебник на странице 80 и заглянуть в математический город. Что вы видите в этом городе? Одинаковые ли дома в городе? Давайте посчитаем и запишем, сколько этажей в каждом доме?
Можно ли сказать, что мы записали числа по порядку?
Что нужно сделать, чтобы эти числа стояли по порядку?
Можно ли сказать, что вы записали ряд натуральных чисел? Тогда по-другому можно сказать, что это натуральный ряд чисел?
Какое число стоит в ряду первым? Вторым? На сколько, второе число больше предыдущего? На сколько, третье число больше второго? И т. д. Какой можно сделать вывод?
Какое последнее число в ряду?
А может быть этажей в доме больше? А может быть предметов больше?
Тогда сможем ли мы назвать последнее число? Какой вывод можно сделать?
Как можно показать, что этот ряд бесконечный?
Спросить у кого-нибудь, посмотреть в учебнике.
Дома разные по цвету и по высоте.
Запись в тетрадке: 3 1 9 6 4 7 2 5 8
Нет, потому что число 3 больше чем 1 и т. д
Записать числа в порядке возрастания:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Да, потому, что эти числа мы использовали при счёте предметов (этажей)
Каждое последующее число больше предыдущего на один.
9
Да
Натуральный ряд не имеет конца!
В конце поставить три точки.
Любую информацию нужно проверять. Чтобы узнать, правы ли мы, предлагаю прочитать правило в учебнике на стр. 82. Правило выделено жёлтым цветом.
Учащиеся читают правило.
- Первичное закрепление знаний.
Давайте проверим, как вы поняли это правило. Стр. учебника 82 № 193. Посоветуйтесь в парах и решите. Какой из предложенных рядов можно назвать натуральным рядом?
Учащиеся работают парами. Обсуждают и объясняют.
- Рефлексия
Что нового и интересного вы узнали сегодня на уроке?
С какой геометрической фигурой можно сравнить натуральный ряд чисел?
Оцените свою работу в классе. Поднимите зелёную карточку, если вам всё понятно или красную если вам трудно разобраться, что такое натуральный ряд чисел? Как вы думаете в чём причины ваших затруднений, как можно с этим справиться?
Узнали, что такое натуральный ряд чисел. Это натуральные числа расположенные по возрастанию. Каждое последующее число в ряду больше предыдущего на один. Натуральный ряд имеет начало и не имеет конца.
Натуральный ряд похож на луч, потому что у него тоже есть начало, но нет конца.
Натуральные числа — одно из старейших
математических понятий.
В далёком прошлом люди не знали чисел и,
когда им требовалось пересчитать предметы
(животных, рыбу и т.д.), они делали это не так, как
мы сейчас.
Количество предметов сравнивали с частями тела, например, с
пальцами на руке и говорили: «У меня столько же орехов, сколько пальцев на руке».
Со временем люди поняли, что пять орехов, пять коз и пять зайцев обладают
общим свойством — их количество равно пяти.
Запомните!
Натуральные числа — это числа, начиная с 1, получаемые
при счете предметов.
1, 2, 3, 4, 5…
Наименьшее натуральное число — 1.
Наибольшего натурального числа не существует.
При счёте число ноль не используется. Поэтому ноль не
считается натуральным числом.
Записывать числа люди научились гораздо позже, чем считать. Раньше
всего они стали изображать единицу одной палочкой, потом
двумя палочками — число 2, тремя — число 3.
| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …
Затем появились и особые знаки для обозначения чисел — предшественники современных
цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно 1 500
лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют
арабскими цифрами.
Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощью этих
цифр можно записать любое натуральное число.
Запомните!
Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на 1.
Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует.
Систему счёта (счисления), который мы пользуемся,
называют десятичной позиционной.
Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют
1 единицу старшего разряда. Позиционной потому, что значение цифры
зависит от её места в записи числа, то есть от
разряда, в котором
она записана.
Важно!
Разряды и классы
(включая класс миллионов) подробно разобраны
на нашем сайте в материалах для начальной школы.
Класс миллиардов
Если взять десять сотен миллионов, то получим новую разрядную единицу —
один миллиард или в записи цифрами.
1 000 миллионов = 1 000 000 000 = 1 млрд
Десять таких единиц — десять миллиардов, десять десятков миллиардов образуют
следующую единицу — сто миллиардов.
Запомните!
Миллиарды, десятки миллиардов и сотни миллиардов образуют четвёртый
класс — класс миллиардов.
Разряды и классы натурального числа
Рассмотрим натуральное число 783 502 197 048
| Название класса | Миллиарды | Миллионы | Тысячи | Единицы | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Название разряда | Сотни миллиардов | Десятки миллиардов | Миллиарды | Сотни миллионов | Десятки миллионов | Миллионы | Сотни тысяч | Десятки тысяч | Тысячи | Сотни | Десятки | Единицы |
| Цифра (символ) | 7 | 8 | 3 | 5 | 0 | 2 | 1 | 9 | 7 | 0 | 4 | 8 |
| Название класса | Миллиарды | Миллионы | Тысячи | Единицы | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Название разряда | Сотни миллиардов | Десятки миллиардов | Миллиарды | Сотни миллионов | Десятки миллионов | Миллионы | Сотни тысяч | Десятки тысяч | Тысячи | Сотни | Десятки | Единицы |
| Цифра (символ) | 7 | 8 | 3 | 5 | 0 | 2 | 1 | 9 | 7 | 0 | 4 | 8 |
C помощью таблицы разрядов прочитаем это число. Для этого надо слева направо по очереди
называть количество единиц каждого класса и добавлять название класса.
Название класса
единиц не произносят, также не произносят название класса, если все три
цифры в его разрядах — нули.
Теперь прочтем число 783 502 197 048 из таблицы:
783 миллиарда 502 миллиона 197 тысяч
48.
Числа 1, 10, 100, 1000… называются разрядными единицами. С их помощью натуральное число
записывается в виде разрядных слагаемых. Так, например, число 307 898 будет выглядеть
в виде разрядных слагаемых.
307 898 = 300 000 + 7 000 + 800 + 90 + 8
Проверить свои вычисления
вы можете с помощью нашего
калькулятора разложения числа на разряды онлайн.
Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими
наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.
- 1 000 миллиардов = 1 000 000 000 000 = 1 триллион («три» — по латыни «три»)
- 1 000 триллионов = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадриллион («квадра» — по латыни «четыре»)
- 1 000 квадриллионов = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтиллион («квинта» — по латыни «пять»)
Все числа пересчитать невозможно, поскольку за каждым числом следует число на единицу большее,
но очень большие числа в повседневной жизни не нужны.
Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества)
во всей Вселенной.
Это число получило специальное название — гугол. Гугол — число, у которого
100 нулей.
Ïðîñòåéøåå ÷èñëî — ýòî íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Èõ èñïîëüçóþò â ïîâñåäíåâíîé æèçíè äëÿ ïîäñ÷åòà ïðåäìåòîâ, ò.å. äëÿ âû÷èñëåíèÿ èõ êîëè÷åñòâà è ïîðÿäêà.
×òî òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî: íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè íàçûâàþò ÷èñëà, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïîäñ÷åòà ïðåäìåòîâ ëèáî äëÿ óêàçûâàíèÿ ïîðÿäêîâîãî íîìåðà ëþáîãî ïðåäìåòà èç âñåõ îäíîðîäíûõ ïðåäìåòîâ.
Íàòóðàëüíûå ÷èñëà — ýòî ÷èñëà, íà÷èíàÿ ñ åäèíèöû. Îíè îáðàçóþòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïðè ñ÷¸òå. Íàïðèìåð, 1,2,3,4,5… – ïåðâûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà.
Íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî — îäèí. Íàèáîëüøåãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íå ñóùåñòâóåò. Ïðè ñ÷¸òå ÷èñëî íîëü íå èñïîëüçóþò, ïîýòîìó íîëü íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
Íàòóðàëüíûé ðÿä ÷èñåë — ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
 íàòóðàëüíîì ðÿäó êàæäîå ÷èñëî áîëüøå ïðåäûäóùåãî íà åäèíèöó.
Ñêîëüêî ÷èñåë â íàòóðàëüíîì ðÿäó? Íàòóðàëüíûé ðÿä áåñêîíå÷åí, ñàìîãî áîëüøîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íå ñóùåñòâóåò.
Ñèñòåìà ñ÷¸òà (ñ÷èñëåíèÿ), êîòîðóþ ìû èñïîëüçóåì, íàçûâàåòñÿ äåñÿòè÷íîé ïîçèöèîííîé.
Äåñÿòè÷íîé òàê êàê 10 åäèíèö âñÿêîãî ðàçðÿäà îáðàçóþò 1 åäèíèöó ñòàðøåãî ðàçðÿäà. Ïîçèöèîííîé òàê êàê çíà÷åíèå öèôðû çàâèñèò îò å¸ ìåñòà â ÷èñëå, ò.å. îò ðàçðÿäà, ãäå îíà çàïèñàíà.
Äëÿ ïîäñ÷åòà âðåìåíè â ãðàäóñíîé ìåðå óãëîâ ñóùåñòâóåò øåñòèäåñÿòåðè÷íàÿ ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ (îñíîâà ÷èñëî 60).  1 ÷àñå — 60 ìèíóò, â 1 ìèíóòå — 60 ñåêóíä; â 1 óãëîâîì ãðàäóñå — 60 ìèíóò, â 1 óãëîâîé ìèíóòå — 60 ñåêóíä.
Âñÿêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ëåãêî çàïèñàòü â âèäå ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ.
×èñëà 1, 10, 100, 1000… – ýòî ðàçðÿäíûå åäèíèöû. Ïðè èõ ïîìîùè íàòóðàëüíûå ÷èñëà çàïèñûâàþò êàê ðàçðÿäíûå ñëàãàåìûå. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî 307 898 â âèäå ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ çàïèñûâàåòñÿ òàê:
307 898 = 300 000 + 7 000 + 800 + 90 + 8
Ñàìûå óïîòðåáëÿåìûå ÷èñëà èìåþò íå áîëüøå 12 ðàçðÿäîâ. ×èñëà, êîòîðûå èìåþò áîëüøå 12 ðàçðÿäîâ, îòíîñÿòñÿ ê ãðóïïå áîëüøèõ ÷èñåë.
Êîãäà çàïèñü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ñîñòîèò èç îäíîãî çíàêà — îäíîé öèôðû, åãî íàçûâàþò îäíîçíà÷íûì ÷èñëîì.
- ÷èñëà 1, 5, 8 — îäíîçíà÷íûå ÷èñëà. Åñëè çàïèñü ÷èñëà ñîñòîèò èç 2-õ çíàêîâ — äâóõ öèôð, åãî íàçûâàþò äâóçíà÷íûì ÷èñëîì.
- ÷èñëà 14, 33, 28, 95 — äâóçíà÷íûå ÷èñëà,
- ÷èñëà 386, 555, 951 — òðåõçíà÷íûå ÷èñëà,
- ÷èñëà 1346, 5787, 9999 — ÷åòûðåõçíà÷íûå ÷èñëà è ò. ä.
Îáîçíà÷åíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë: Ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì N.
Òàáëèöà íàòóðàëüíûõ (ïðîñòûõ) ÷èñåë äî 10 000.
Êëàññû íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Âñÿêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî âîçìîæíî íàïèñàòü ïðè ïîìîùè 10-òè àðàáñêèõ öèôð:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Äëÿ ÷òåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë èõ ðàçáèâàþò, íà÷èíàÿ ñïðàâà, íà ãðóïïû ïî 3 öèôðû â êàæäîé. 3 ïåðâûå öèôðû ñïðàâà – ýòî êëàññ åäèíèö, 3 ñëåäóþùèå – ýòî êëàññ òûñÿ÷, äàëåå êëàññû ìèëëèîíîâ, ìèëëèàðäîâ è òàê äàëåå. Êàæäàÿ èç öèôð êëàññà íàçûâàåòñÿ åãî ðàçðÿäîì.
Ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Èç 2-õ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìåíüøå òî ÷èñëî, êîòîðîå ïðè ñ÷åòå íàçûâàåòñÿ ðàíåå. Íàïðèìåð, ÷èñëî 7 ìåíüøå 11 (çàïèñûâàþò òàê: 7 < 11). Êîãäà îäíî ÷èñëî áîëüøå âòîðîãî, ýòî çàïèñûâàþò òàê: 386 > 99.
Òàáëèöà ðàçðÿäîâ è êëàññîâ ÷èñåë.
Êëàññû | Ðàçðÿäû |
1-é êëàññ åäèíèöû | 1-é ðàçðÿä åäèíèöû 2-é ðàçðÿä äåñÿòêè 3-é ðàçðÿä ñîòíè |
2-é êëàññ òûñÿ÷è | 1-é ðàçðÿä åäèíèöû òûñÿ÷ 2-é ðàçðÿä äåñÿòêè òûñÿ÷ 3-é ðàçðÿä ñîòíè òûñÿ÷ |
3-é êëàññ ìèëëèîíû | 1-é ðàçðÿä åäèíèöû ìèëëèîíîâ 2-é ðàçðÿä äåñÿòêè ìèëëèîíîâ 3-é ðàçðÿä ñîòíè ìèëëèîíîâ |
4-é êëàññ ìèëëèàðäû | 1-é ðàçðÿä åäèíèöû ìèëëèàðäîâ 2-é ðàçðÿä äåñÿòêè ìèëëèàðäîâ 3-é ðàçðÿä ñîòíè ìèëëèàðäîâ |
×èñëà îò 5-ãî êëàññà è âûøå îòíîñÿòñÿ ê áîëüøèì ÷èñëàì. Åäèíèöû 5-ãî êëàññà — òðèëëèîíû, 6-ãî êëàññà — êâàäðèëëèîíû, 7-ãî êëàññà — êâèíòèëëèîíû, 8-ãî êëàññà — ñåêñòèëëèîíû, 9-ãî êëàññà — åïòèëëèîíû.
Îñíîâíûå ñâîéñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
- Êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ. a + b = b + a
- Êîììóòàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ. ab = ba
- Àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ. (a + b) + c = a + (b + c)
- Àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ.
- Äèñòðèáóòèâíîñòü óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ:
Äåéñòâèÿ íàä íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè.
1. Ñëîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ðåçóëüòàò: ñóììà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Ôîðìóëû äëÿ ñëîæåíèÿ:
à + b = b + à
(à + b) + ñ = à + (b + ñ)
à + 0 = 0 + à = à
 îñíîâíîì, ñëîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë âûïîëíÿåòñÿ «ñòîëáèêîì».
2. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë – îïåðàöèÿ, îáðàòíàÿ ñëîæåíèþ: ðàçíèöà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Åñëè â + ñ = à, òî
Åñëè à = â, òî à — b = à – à = 0
Ôîðìóëû äëÿ âû÷èòàíèÿ:
(à + b) – ñ = (à — ñ) + b
à – (b + ñ) = (à — b) – ñ
à + (b – ñ) = (à + b) – ñ
à – (b — ñ) = à – b + ñ
Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë óäîáíî ïðîèçâîäèòü «ñòîëáèêîì».
3. Óìíîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë: ïðîèçâåäåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Ôîðìóëû äëÿ óìíîæåíèÿ:
à ∙ b = b ∙ à
à ∙ b ∙ ñ = à ∙ (b ∙ ñ)
(à + b) ∙ ñ= à ∙ ñ + b ∙ ñ
(à – b) ∙ ñ = à ∙ ñ – b ∙ ñ
à ∙ 1 = 1 ∙ à = à
à ∙ 0 = 0 ∙ à = 0
0 ∙ 0 = 0
1 ∙ 1 = 1
Óìíîæåíèå ëó÷øå âûïîëíÿòü «ñòîëáèêîì».
4. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë – îïåðàöèÿ, îáðàòíàÿ îïåðàöèè óìíîæåíèÿ.
Åñëè b ∙ ñ = à, òî
Ôîðìóëû äëÿ äåëåíèÿ:
à : 1 = a
a : a = 1, a ≠ 0
0 : a = 0, a ≠ 0
(à ∙ b) : c = (a :c) ∙ b
(à ∙ b) : c = (b :c) ∙ a
(a ∙ b) : c = a : (b ∙ c)
Äåëåíèå ëó÷øå âûïîëíÿòü â ñòîëáèê.
×èñëîâûå âûðàæåíèÿ è ÷èñëîâûå ðàâåíñòâà.
Çàïèñü, ãäå ÷èñëà ñîåäèíÿþòñÿ çíàêàìè äåéñòâèé, ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîâûì âûðàæåíèåì.
Íàïðèìåð, 10∙3+4; (60-2∙5):10.
Çàïèñè, ãäå çíàêîì ðàâåíñòâà îáúåäèíåíû 2 ÷èñëîâûõ âûðàæåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîâûìè ðàâåíñòâàìè. Ó ðàâåíñòâà åñòü ëåâàÿ è ïðàâàÿ ÷àñòè.
Ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé.
Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ÷èñåë – ýòî äåéñòâèÿ ïåðâîé ñòåïåíè, à óìíîæåíèå è äåëåíèå — ýòî äåéñòâèÿ âòîðîé ñòåïåíè.
Êîãäà ÷èñëîâîå âûðàæåíèå ñîñòîèò èç äåéñòâèé òîëüêî îäíîé ñòåïåíè, òî èõ âûïîëíÿþò ïîñëåäîâàòåëüíî ñëåâà íàïðàâî.
Êîãäà âûðàæåíèÿ ñîñòîÿò èç äåéñòâèÿ òîëüêî ïåðâîé è âòîðîé ñòåïåíè, òî ñíà÷àëà âûïîëíÿþò äåéñòâèÿ âòîðîé ñòåïåíè, à ïîòîì — äåéñòâèÿ ïåðâîé ñòåïåíè.
Êîãäà â âûðàæåíèè åñòü ñêîáêè – ñíà÷àëà âûïîëíÿþò äåéñòâèÿ â ñêîáêàõ.
Íàïðèìåð, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.
Ñêîëüêî íóëåé â ÷èñëå | |
| Óçíàòü êîëè÷åñòâî íóëåé, è ñêîëüêî äåñÿòêîâ, ñîòåí, òûñÿ÷, ìèëëèîíîâ, ìèëëèàðäîâ, òðèëëèîíîâ ñîäåðæèòñÿ â ëþáîì ÷èñëå. | |
| Ñêîëüêî íóëåé â ÷èñëå | |
Ìàòåìàòè÷åñêèå êàëüêóëÿòîðû | |
| Ìàòåìàòè÷åñêèå êàëüêóëÿòîðû: êîðíè, äðîáè, ñòåïåíè, óðàâíåíèÿ, ôèãóðû, ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ è äðóãèå êàëüêóëÿòîðû. | |
| Ìàòåìàòè÷åñêèå êàëüêóëÿòîðû | |
Êàëüêóëÿòîðû ïî àëãåáðå | |
| Ðåøåíèÿ, ïîäñêàçêè è ó÷åáíèê ëèíåéíîé àëãåáðû îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî àëãåáðå). | |
| Êàëüêóëÿòîðû ïî àëãåáðå | |
×èñëà. | |
| Ïðîñòûå, íàòóðàëüíûå, äåéñòâèòåëüíûå, ðàöèîíàëüíûå, öåëûå, âåùåñòâåííûå ÷èñëà | |
| ×èñëà. | |
Äåéñòâèÿ ñ ÷èñëàìè. | |
| Äåéñòâèÿ ñ íàòóðàëüíûìè, ìíîãîçíà÷íûìè, êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ ñ ÷èñëàìè, ïðèìåðû äåéñòâèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè, íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè | |
| Äåéñòâèÿ ñ ÷èñëàìè. | |
Ìàòåìàòèêà 4,5,6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ìàòåìàòèêè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ìàòåìàòèêà 4,5,6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
×èñëà. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. | |
| Ïîíÿòèå äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà: äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî — (âåùåñòâåííîå ÷èñëî), âñÿêîå íåîòðèöàòåëüíîå èëè îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî ëèáî íóëü. | |
| ×èñëà. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. | |
×èñëà. Ïðîñòûå ÷èñëà. | |
| Ïðîñòîå ÷èñëî ýòî öåëîå ÷èñëî (ïîëîæèòåëüíîå) èç ðàçðÿäà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë , êîòîðîå èìååò òîëüêî 2 ðàçíûõ íàòóðàëüíûõ äåëèòåëÿ. | |
| ×èñëà. Ïðîñòûå ÷èñëà. | |