Что такое модель какие основные свойства моделей

Основные свойства любой модели:

• целенаправленность — модель всегда отображает некоторую систему, т.е. имеет цель;
• конечность — модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;
• упрощенность — модель отображает только существенные стороны объекта и, кроме того, должна быть проста для исследования или воспроизведения;
• приблизительность — действительность отображается моделью грубо или приблизительно;
• адекватность — модель должна успешно описывать моделируемую систему;
• наглядность, обозримость основных ее свойств и отношений;
• доступность и технологичность для исследования или воспроизведения;
• информативность — модель должна содержать достаточную информацию о системе (в рамках гипотез, принятых при построении модели ) и должна давать возможность получить новую информацию;
• сохранение информации, содержавшейся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез);
• полнота — в модели должны быть учтены все основные связи и отношения, необходимые для обеспечения цели моделирования ;
• устойчивость — модель должна описывать и обеспечивать устойчивое поведение системы, если даже она вначале является неустойчивой;
• целостность — модель реализует некоторую систему (т.е. целое);
• замкнутость — модель учитывает и отображает замкнутую систему необходимых основных гипотез, связей и отношений;
• адаптивность — модель может быть приспособлена к различным входным параметрам, воздействиям окружения;
• управляемость (имитационность) — модель должна иметь хотя бы один параметр, изменениями которого можно имитировать поведение моделируемой системы в различных условиях;
• эволюционируемость — возможность развития моделей (предыдущего уровня).

Жизненный цикл моделируемой системы:

• сбор информации об объекте, выдвижение гипотез, предмодельный анализ;
• проектирование структуры и состава моделей (подмоделей);
• построение спецификаций модели, разработка и отладка отдельных подмоделей, сборка модели в целом, идентификация (если это нужно) параметров моделей ;
• исследование модели — выбор метода исследования и разработка алгоритма (программы) моделирования ;
• исследование адекватности, устойчивости, чувствительности модели ;
• оценка средств моделирования (затраченных ресурсов);
• интерпретация, анализ результатов моделирования и установление некоторых причинно-следственных связей в исследуемой системе;
• генерация отчетов и проектных (народно-хозяйственных) решений;
• уточнение, модификация модели, если это необходимо, и возврат к исследуемой системе с новыми знаниями, полученными с помощью модели и моделирования.

Моделирование — метод системного анализа. Но часто в системном анализе при модельном подходе исследования может совершаться одна методическая ошибка, а именно, — построение корректных и адекватных моделей (подмоделей) подсистем системы и их логически корректная увязка не дает гарантий корректности построенной таким способом модели всей системы. Модель, построенная без учета связей системы со средой и ее поведения по отношению к этой среде, может часто лишь служить еще одним подтверждением теоремы Геделя, а точнее, ее следствия, утверждающего, что в сложной изолированной системе могут существовать истины и выводы, корректные в этой системе и некорректные вне ее.

Наука моделирования состоит в разделении процесса моделирования (системы, модели ) на этапы (подсистемы, подмодели), детальном изучении каждого этапа, взаимоотношений, связей, отношений между ними и затем эффективного описания их с максимально возможной степенью формализации и адекватности. В случае нарушения этих правил получаем не модель системы, а модель «собственных и неполных знаний».

Моделирование (в значении «метод», «модельный эксперимент») рассматривается как особая форма эксперимента, эксперимента не над самим оригиналом (это называется простым или обычным экспериментом), а над копией (заместителем) оригинала. Здесь важен изоморфизм систем (оригинальной и модельной) — изоморфизм, как самой копии, так и знаний, с помощью которых она была предложена.

Модели и моделирование применяются по основным направлениям:

• обучение (как моделям, моделированию, так и самих моделей );
• познание и разработка теории исследуемых систем (с помощью каких-либо моделей, моделирования, результатов моделирования );
• прогнозирование (выходных данных, ситуаций, состояний системы);
• управление (системой в целом, отдельными подсистемами системы), выработка управленческих решений и стратегий;
• автоматизация (системы или отдельных подсистем системы).

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое модель, для чего она нужна и как используется? Какая модель называется статической (динамической, дискретной и т.д.)?
2. Каковы основные свойства моделей и насколько они важны?
3. Что такое жизненный цикл моделирования (моделируемой системы)?

Задачи и упражнения

1. В последнее время наиболее актуальной проблемой в экономике стало воздействие уровня налогообложения на хозяйственную деятельность. В ряду прочих принципов взимания налогов важное место занимает вопрос о той предельной норме, превышение которой влечет потери общества и государства, несоизмеримые с текущими доходами бюджета. Определение совокупной величины налоговых сборов таким образом, чтобы она, с одной стороны, максимально соответствовала государственным расходам, а с другой, оказывала минимум отрицательного воздействия на деловую активность, относится к числу главных задач управления государства. Опишите, какие, на ваш взгляд, параметры необходимо учесть в модели налогообложения хозяйственной деятельности, соответствующей указанной цели. Составьте простую (например, рекуррентного вида) модель сбора налогов, исходя из налоговых ставок, изменяемых в указанных диапазонах: налог на доход — 8-12 %, налог на добавленную стоимость — 3-5 %, налог на имущество юридических лиц — 7-10%. Совокупные налоговые отчисления не должны превышать 30-35% прибыли. Укажите в этой модели управляющие параметры. Определите одну стратегию управления с помощью этих параметров.
2. Заданы числовой — xi, i=0, 1, …, n и символьный — yi, i=0, 1, …, m массивы X и Y. Составить модель стекового калькулятора, который позволяет осуществлять операции:
   1. циклический сдвиг вправо массива X или Y и запись заданного числа в x0 или символа операции — y0 (в «верхушку стека» X(Y) ) т.е. выполнение операции «вталкивание в стек»;
   2. считывание «верхушки стека» и последующий циклический сдвиг влево массива X или Y — операция «выталкивания из стека»;
   3. обмен местами x0 и x1 или y0 и y1 ;
   4. «раздваивание верхушки стека», т.е. получение копии x0 или y0 в x1 или y1 ;
   5. считывание «верхушки стека» Y (знака +, -, * или /), затем расшифровка этой операции, считыавние операндов операций с «верхушки» X, выполнение этой операции и помещение результата в «верхушку» X.
3. Известна классическая динамическая модель В.Вольтерра системы типа «хищник-жертва», являющейся моделью типа «ресурс-потребление». Рассмотрим клеточно-автоматную модель такой системы. Алгоритм поведения клеточного автомата, моделирующего систему типа «хищник-жертва», состоит из следующих этапов:
   1. задаются начальные распределения хищников и жертв, случайно или детерминированно;
   2. определяются законы «соседства» особей (правила взаимоотношений) клеток, например, «соседями» клетки с индексами (i,j) считаются клетки (i-1,j), (i,j+1), (i+1,j), (i,j-1) ;
   3. задаются законы рождаемости и смертности клеток, например, если у клетки меньше двух (больше трех) соседей, она отмирает «от одиночества» («от перенаселения»).

   Цель моделирования: определение эволюции следующего поколения хищников и жертв, т.е., используя заданные законы соседства и динамики дискретного развития (время изменяется дискретно), определяются число новых особей (клеток) и число умерших (погибших) особей; если достигнута заданная конфигурация клеток или развитие привело к исчезновению вида (цикличности), то моделирование заканчивается.

Темы научных исследований и рефератов, интернет-листов

1. Моделирование как метод, методология, технология.
2. Модели в микромире и макромире.
3. Линейность моделей (наших знаний) и нелинейность явлений природы и общества.

1.4. Адекватность модели

Итак, мы установили: модель предназначена для замены оригинала при исследованиях, которым подвергать оригинал нельзя или нецелесообразно. Но замена оригинала моделью возможна, если они в достаточной степени похожи или адекватны.

Адекватность означает, достаточно ли хорошо с точки зрения целей исследования результаты, полученные в ходе моделирования, отражают истинное положение дел. Термин происходит от латинского adaequatus — приравненный.

Говорят, что модель адекватна оригиналу, если при ее интерпретации возникает «портрет», в высокой степени сходный с оригиналом.

До тех пор, пока не решен вопрос, правильно ли отображает модель исследуемую систему (то есть адекватна ли она), ценность модели нулевая!

Термин «адекватность» как видно носит весьма расплывчатый смысл. Понятно, что результативность моделирования значительно возрастет, если при построении модели и переносе результатов с модели на систему-оригинал может воспользоваться некоторой теорией, уточняющей идею подобия, связанную с используемой процедурой моделирования.

К сожалению теории, позволяющей оценить адекватность математической модели и моделируемой системы нет, в отличие от хорошо разработанной теории подобия явлений одной и той же физической природы.

Проверку адекватности проводят на всех этапах построения модели, начиная с самого первого этапа — концептуального анализа. Если описание системы будет составлено не адекватно реальной системе, то и модель, как бы точно она не отображала описание системы, не будет адекватной оригиналу. Здесь сказано «как бы точно», так как имеется в виду, что вообще не существуют математические модели, абсолютно точно отображающие процессы, существующие в реальности.

Если изучение системы проведено качественно и концептуальная модель достаточно точно отражает реальное положение дел, то далее перед разработчиками стоит лишь проблема эквивалентного преобразования одного описания в другое.

Итак, можно говорить об адекватности модели в любой ее форме и оригинала, если:

• описание поведения, созданное на каком-либо этапе, достаточно точно совпадает с поведением моделируемой системы в одинаковых ситуациях;
• описание убедительно представительно относительно свойств системы, которые должны прогнозироваться с помощью модели.

Предварительно исходный вариант математической модели подвергается следующим проверкам:

• все ли существенные параметры включены в модель;
• нет ли в модели несущественных параметров;
• правильно ли отражены функциональные связи между параметрами;
• правильно ли определены ограничения на значения параметров;
• не дает ли модель абсурдные ответы, если ее параметры принимают предельные значения.

Такая предварительная оценка адекватности модели позволяет выявить в ней наиболее грубые ошибки.

Но все эти рекомендации носят неформальный, рекомендательный характер. Формальных методов оценки адекватности не существует! Поэтому, в основном, качество модели (и в первую очередь степень ее адекватности системе) зависит от опыта, интуиции, эрудиции разработчика модели и других субъективных факторов.

Окончательное суждение об адекватности модели может дать лишь практика, то есть сравнение модели с оригиналом на основе экспериментов с объектом и моделью. Модель и объект подвергаются одинаковым воздействиям и сравниваются их реакции. Если реакции одинаковы (в пределах допустимой точности), то делается вывод, что модель адекватна оригиналу. Однако надо иметь в виду следующее:

• воздействия на объект носят ограниченный характер из-за возможного разрушения объекта, недоступности к элементам системы и т. д.;
• воздействия на объект имеют физическую природу (изменение питающих токов и напряжений, температуры, скорости вращения валов и т. д.), а на математическую модель — это числовые аналоги физических воздействий.

Для оценки степени подобия структур объектов (физических или математических) существует понятие изоморфизма (изо — одинаковый, равный, морфе — форма, греч.).

Две системы изоморфны, если существует взаимно однозначное соответствие между элементами и отношениями (связями) этих систем.

Изоморфны, например, множество действительных положительных чисел и множество их логарифмов. Каждому элементу одного множества — числу соответствует значение его логарифма в другом, умножению двух чисел в первом множестве — сложение их логарифмов в другом. C точки зрения пассажира план метрополитена, находящийся в каждом вагоне поезда метро, изоморфен реальному географическому расположению рельсовых путей и станций, хотя для рабочего, ремонтирующего рельсовые пути, этот план естественно не является изоморфным. Фотография является изоморфным отображением реального лица для милиционера, но не является таковым для художника.

При моделировании сложных систем достигнуть такого полного соответствия трудно, да и нецелесообразно. При моделировании абсолютное подобие не имеет места. Стремятся лишь к тому, чтобы модель достаточно хорошо отражала исследуемую сторону функционирования объекта. Модель по сложности может стать аналогичной исследуемой системе и никакого упрощения исследования не будет.

Для оценки подобия в поведении (функционировании) систем существует понятие изофункционализма.

Две системы произвольной, а подчас неизвестной структуры изофункциональны, если при одинаковых воздействиях они проявляют одинаковые реакции. Такое моделирование называется функциональным или кибернетическим и в последние годы получает все большее распространение, например, при моделировании человеческого интеллекта (игра в шахматы, доказательство теорем, распознавание образов и т. д.). Функциональные модели не копируют структуры. Но, копируя поведение, исследователи последовательно «подбираются» к познанию структур объектов (человеческого мозга, Солнца, и др.).

1.5. Требования, предъявляемые к моделям

Итак, общие требования к моделям.

1. Модель должна быть актуальной. Это значит, что модель должна быть нацелена на важные для лиц, принимающих решения, проблемы.
2. Модель должна быть результативной. Это значит, что полученные результаты моделирования могут найти успешное применение. Данное требование может быть реализовано только в случае правильной формулировки требуемого результата.
3. Модель должна быть достоверной. Это значит, что результаты моделирования не вызовут сомнения. Данное требование тесно связано с понятием адекватности, то есть, если модель неадекватна, то она не может давать достоверных результатов.
4. Модель должна быть экономичной. Это значит, что эффект от использования результатов моделирования превышает расходы ресурсов на ее создание и исследование.

Эти требования (обычно их называют внешними) выполнимы при условии обладания моделью внутренними свойствами.

Модель должна быть:

1. Существенной, т. е. позволяющей вскрыть сущность поведения системы, вскрыть неочевидные, нетривиальные детали.
2. Мощной, т. е. позволяющей получить широкий набор существенных сведений.
3. Простой в изучении и использовании, легко просчитываемой на компьютере.
4. Открытой, т. е. позволяющей ее модификацию.

В заключение темы сделаем несколько замечаний. Трудно ограничить область применения математического моделирования. При изучении и создании промышленных и военных систем практически всегда можно определить цели, ограничения и предусмотреть, чтобы конструкция или процесс подчинялись естественным, техническим и (или) экономическим законам.

Круг аналогий, которые можно использовать в качестве моделей, также практически неограничен. Следовательно, надо постоянно расширять свое образование в конкретной области, но, в первую очередь, в математике.

В последние десятилетия появились проблемы с неясными и противоречивыми целями, диктуемыми политическими и социальными факторами. Математическое моделирование в этой области пока еще проблематично. Что это за проблемы? Защита от загрязнения окружающей среды; предсказаний извержений вулканов, землетрясений, цунами; рост городов; руководство боевыми действиями и ряд других. Но, тем не менее, «процесс пошел», прогресс не остановим, и проблемы моделирования таких сверхсложных систем постоянно находят свое разрешение. Здесь следует отметить лидирующую роль отечественных ученых и, в первую очередь, академика Н. Н. Моисеева, его учеников и последователей.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое модель? Раскройте смысл фразы: «модель есть объект и средство эксперимента».
2. Обоснуйте необходимость моделирования.
3. На основе какой теории основано моделирование?
4. Назовите общие классификационные признаки моделей.
5. Нужно ли стремиться к абсолютному подобию модели и оригинала?
6. Назовите и поясните три аспекта процесса моделирования.
7. Что значит структурная модель?
8. Что такое функциональная модель?
9. Классификация моделей по характеру процессов, протекающих в моделируемых объектах.
10. Сущность математического моделирования и его основных классов: аналитического и имитационного.
11. Назовите этапы моделирования и дайте им краткую характеристику.
12. Что такое адекватность модели? Дайте понятия изоморфизма и изофункционализма.
13. Общие требования (внешние) к моделям.
14. Внутренние свойства модели.
15. Приведите примеры объектов и возможных их моделей в своей предметной области.