Какой четырехугольник называется ромбом сформулируйте особое свойство ромба
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Четырехугольники
- Ромб и квадрат
Частным видом параллелограмма является ромб.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны
ABCD — ромб.
Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.
Особое свойство ромба
Доказательство
Дано: ABCD — ромб
Доказать: AC
BD, 
ADO = CDO
Доказательство:
AD = DC (по определению ромба), значит, 
ADC — равнобедренный.
AO = OC (по свойству диагоналей параллелограмма), 
DO — медиана ADC , а в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой, ACBD, ADO = CDO, что и требовалось доказать.
Теорема
Доказательство
Дано: ABCD — параллелограмм, ACBD
Доказать: ABCD — ромб
Доказательство:
Рассмотрим AOВ и COВ:
Т.к. ACBD, тоAOВ = COВ = 900;
AO = OC (по свойству диагоналей параллелограмма), ОВ — общий катет, AOВ = COВ (по двум катетам). В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, ВС = ВА.
В параллелограмме противоположные стороны равны, AD = BC, AB = DC
Итак: ABCD — параллелограмм (по условию) AD = BC =AB = DC (по доказанному). ABCD — ромб, что и требовалось доказать.
Теорема
Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм — ромб
Доказательство
Дано: ABCD — параллелограмм, АС — диагональ и биссектриса DAB иDCB
Доказать: ABCD — ромб
Доказательство:
DAB =DCB (по свойству параллелограмма), а АС -биссектриса DAB иDCB (т.е. АС делит эти углы на два равных угла), DAC = BAC =DCA = BCA
Рассмотрим ADC: DAC =DCA, ADC — равнобедренный с основанием AC, и AD = DC. В параллелограмме противоположные стороны равны, AD = BC, AB = DC
Итак: ABCD — параллелограмм (по условию) AD = BC =AB = DC (по доказанному). ABCD — ромб, что и требовалось доказать.
Две теоремы, доказанные выше, называют признаками ромба.
Основные свойства квадрата:
1. Все углы квадрата прямые.
2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Многоугольник
Выпуклый многоугольник
Четырехугольник
Параллелограмм
Признаки параллелограмма
Трапеция
Прямоугольник
Осевая и центральная симметрии
Четырехугольники
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 16,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 446,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 526,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 539,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 700,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 721,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 728,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 762,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1141,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1211,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
У этого термина существуют и другие значения, см. Ромб (значения).
Ромб (др.-греч. ῥόμβος, лат. rombus, в буквальном переводе: «бубен») — это параллелограмм, у которого все стороны равны[1].
Этимология[править | править код]
Термин «ромб» происходит от др.-греч. ῥόμβος — «бубен». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Поэтому название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми.
Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.
Свойства[править | править код]
- Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны: АВ || CD, AD || ВС. Противоположные углы ромба равны, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
- Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника.
- Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).
- Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).
- Середины четырех сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
- Диагонали ромба являются перпендикулярными осями его симметрии.
- В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
Признаки[править | править код]
Параллелограмм является ромбом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий[2]:
- Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны, ).
- Его диагонали пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD).
- Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам.
Предположим, что заранее не известно, что четырёхугольник является параллелограммом, но дано, что все его стороны равны. Тогда этот четырёхугольник есть ромб[1].
Квадрат, как частный случай ромба[править | править код]
Из определения квадрата, как четырёхугольника, у которого все стороны и углы равны, следует, что квадрат — частный случай ромба. Иногда квадрат определяют, как ромб, у которого все углы равны.
Однако иногда под ромбом может пониматься только четырёхугольник с непрямыми углами, то есть с парой острых и парой тупых углов[3][4].
Уравнение ромба[править | править код]
Уравнение ромба с центром в точке и диагоналями, параллельными осям координат, может быть записано в виде:
где — половины длин диагоналей ромба по осям соответственно.
Длина стороны ромба равна Площадь ромба равна Левый угол ромба рассчитывается по формуле:
Второй угол дополняет его до 180°.
В случае a = b уравнение отображает повёрнутый на 45° квадрат:
где сторона квадрата равна а его диагональ равна Соответственно площадь квадрата равна
Из уравнения видно, что ромб можно рассматривать как суперэллипс степени 1.
Площадь ромба[править | править код]
- Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
- Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.
- Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле:
,
где — угол между двумя смежными сторонами ромба.
- Также площадь ромба можно рассчитать по формуле, где присутствует радиус вписанной окружности и угол :
Радиус вписанной окружности[править | править код]
Радиус вписанной окружности r может быть выражен через диагонали p и q в виде:[5]
В геральдике[править | править код]
Ромб является простой геральдической фигурой.
Червлёный ромб в серебряном поле
В червлёном поле 3 сквозных ромба: 2 и 1
Просверленный червлёный ромб в серебряном поле
В лазури левая перевязь, составленная из пяти вертикальных золотых ромбов
Симметрия[править | править код]
Ромб симметричен относительно любой из своих диагоналей, поэтому часто используется в орнаментах и паркетах.
Ромбический орнамент
Ромбические звёзды
Более сложный орнамент
См. другие примеры на Викискладе.
См. также[править | править код]
- Дельтоид
- Звезда (геометрия)
- Ромбододекаэдр
Примечания[править | править код]
Литература[править | править код]
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
- Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
Ромб, его свойства и признаки.
Рассмотрим ещё два вида параллелограмма.
Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Поскольку ромб является параллелограммом, то он обладает теми же свойствами, что и параллелограмм, т.е.: у ромба противолежащие углы равны (стороны у него и так все равны, поэтому в этом свойстве мы опускаем равенство противолежащих сторон); диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Кроме того, ромб обладает ещё и своими, особенными свойствами. Рассмотрим их.
ТЕОРЕМА. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.
Дано: – ромб
и диагонали.
Доказать: .
Доказательство.
Для того, чтобы доказать, что , нам нужно доказать, что хотя бы один из четырёх углов, которые получаются при пересечении диагоналей, равен .
1. Рассмотрим и .
по III признаку равенства треугольников. Следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. .
2. и – смежные, значит, по свойству смежных углов
, как, впрочем, и остальные углы (мы знаем, что если угол прямой, то смежный с ним угол также прямой).
3. Итак, прямые и при пересечении образуют прямой угол, значит, эти прямые перпендикулярны, т.е. , ч.т.д.
ТЕОРЕМА. У ромба диагонали являются биссектрисами углов.
Дано: – ромб
и диагонали.
Доказать: – биссектриса и
– биссектриса и .
Доказательство.
Для того, чтобы доказать, что и являются биссектрисами углов, нам нужно доказать, что они делят эти углы пополам.
1. Рассмотрим и .
по III признаку равенства треугольников. Следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. и . Следовательно, – биссектриса и .
2. Рассмотрим и .
по III признаку равенства треугольников. Следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. и . Следовательно, – биссектриса и , ч.т.д.
ТЕОРЕМА. У ромба высоты равны.
Дано: – ромб
и — высоты.
Доказать:
Доказательство.
Рассмотрим и .
по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу). Значит, все соответствующие стороны у этих треугольников равны, т.е. , ч.т.д.
Итак, ромб обладает следующими свойствами:
У ромба диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.
У ромба диагонали являются биссектрисами его углов.
У ромба противоположные углы равны.
У ромба высоты равны.
Теперь определим признаки ромба.
ТЕОРЕМА (I признак ромба). Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Дано: – параллелограмм
Доказать: – ромб.
Доказательство.
Так как – параллелограмм, то у него противолежащие стороны равны.
– ромб (по определению), ч.т.д.
ТЕОРЕМА (II признак ромба). Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом.
Дано: – параллелограмм
Доказать: – ромб.
Доказательство.
Рассмотрим .
по свойству диагоналей параллелограмма, значит, – медиана (по опред-нию).
– высота , т.к. . Значит, в является и медианой и высотой, поэтому этот треугольник является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника), т.е. . Согласно I признаку ромба, параллелограмм является ромбом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (III признак ромба). Если у параллелограмма диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.
Дано: – параллелограмм
– диагональ
– биссектриса
Доказать: – ромб.
Доказательство.
Так как – биссектриса , то .
по свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых. Значит, , следовательно – равнобедренный, и . По I признаку ромба, параллелограмм является ромбом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (IV признак ромба). Если у параллелограмма высоты равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Дано: – параллелограмм
и — высоты
Доказать: – ромб.
Доказательство.
Рассмотрим и .
по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и острому углу). Значит, все соответствующие стороны у этих треугольников равны, т.е. . По I признаку ромба, параллелограмм является ромбом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (V признак ромба). Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он является ромбом.
Дано: – четырёхугольник
Доказать: – ромб.
Доказательство.
Проведём диагональ и рассмотрим и .
по III признаку равенства треугольников, следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. и . Значит, по признаку параллельности прямых, и , следовательно, – параллелограмм, у которого все стороны равны, значит, он является ромбом, ч.т.д.
Итак, признаки ромба:
Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма высоты равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он является ромбом.
Сторона ромба равна см. Найдите периметр ромба.
Вычислите периметр ромба, один из углов которого равен , а длина меньшей диагонали равна см.
Найдите все углы ромба, если его сторона равна диагонали.
Диагонали ромба пересекаются в точке . Найдите углы треугольника , если .
Из вершины ромба проведены перпендикуляры и к прямым и . Докажите, что луч является биссектрисой .
Сторона ромба равна см, . Из вершины проведены высоты и к сторонам и соответственно. Найдите расстояния . Докажите, что треугольник равносторонний.
Найдите углы ромба, если основание перпендикуляра, опущенного из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам.
Периметр ромба равен см, расстояние между противолежащими сторонами равно см. Найдите углы ромба.
Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен .
Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на меньше другого.
Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся как . Найдите углы ромба.
Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.
Докажите, что параллелограмм, у которого две смежные стороны равны, является ромбом.
Докажите, что если каждая диагональ четырёхугольника делит пополам два его угла, то этот четырёхугольник является ромбом.
Через точку пересечения диагоналей ромба проведены перпендикуляры к его сторонам. Докажите, что точки пересечения этих перпендикуляров со сторонами ромба являются вершинами прямоугольника.
Точки – середины сторон ромба . Докажите, что четырёхугольник является прямоугольником.
В ромбе точки – середины его сторон. Докажите, что точки лежат на одной прямой с серединами отрезков: а) и б) и .
В параллелограмме биссектрисы углов и пересекают стороны параллелограмма и в точках и соответственно. Докажите, что четырёхугольник – ромб.
В ромбе биссектриса угла пересекает сторону и диагональ соответственно в точках и . Найдите угол , если .
В ромбе угол равен . Докажите, что если один из углов треугольника равен , то и остальные его углы тоже равны по .
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до прямой равно м. Найдите длину высоты ромба, проведённой к стороне .
В ромбе перпендикуляр, проведённый из вершины тупого угла к стороне ромба, делит эту сторону пополам. Найдите углы ромба.
Докажите, что четырёхугольник, вершины которого находятся в серединах сторон прямоугольника, является ромбом.
Периметр ромба равен см. Найдите сторону ромба.
В ромбе с острым углом , равным , проведена диагональ . Найдите угол .
В ромбе с тупым углом диагонали пересекаются в точке . Один из углов треугольника равен . Найдите остальные углы этого треугольника и угол .
В ромбе . Диагонали пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .
В ромбе – точка пересечения диагоналей, – перпендикуляры, опущенные на стороны соответственно. Докажите, что , и найдите сумму углов и .
В ромбе диагонали пересекаются в точке . На сторонах взяты точки соответственно, . Докажите, что , и найдите сумму углов и .
В ромбе угол тупой. На стороне взята точка . Прямые и пересекаются в точке . Найдите угол .
В ромбе угол острый. Отрезок является перпендикуляром к прямой – точка пересечения диагоналей, а – общая точка прямых и . Найдите .
Два ромба имеют общую точку пересечения диагоналей, причём, меньшие диагонали этих ромбов взаимно перпендикулярны. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину стороны одного ромба, перпендикулярна стороне другого.
Два ромба и имеют общую вершину острого угла, причём, , а лучи и пересекаются в точке – точка пересечения диагоналей ромба – биссектриса треугольника . Докажите, что .
На сторонах ромба взяты точки соответственно. Каждая из прямых параллельная одной из осей симметрии ромба. Диагональ пересекает отрезок в точке , о отрезок – в точке . Докажите, что диагонали четырёхугольника равны, и определите вид выпуклого четырёхугольника .
Найдите величину большего угла ромба, если его сторона равна одной из его диагоналей.
Точка лежит на стороне параллелограмма так, что – биссектриса угла . Прямая параллельна и пересекает сторону в точке . Найдите величину угла между прямыми и .
Отрезки – биссектрисы углов параллелограмма . Отрезки и пересекаются в точке , а отрезки и – в точке , при этом . Найдите длину отрезка .
В ромбе диагонали и пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .
Диагонали и ромба пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .
Диагонали ромба пересекаются в точке . Найдите углы треугольника , если .
На стороне параллелограмма взята точка так, что .
Докажите, что – биссектриса угла .
Найдите периметр параллелограмма, если .
В параллелограмме проведена биссектриса угла , которая пересекает сторону в точке .
Докажите, что треугольник равнобедренный.
Найдите сторону , если , а периметр параллелограмма равен .
Один из углов ромба равен . Определите остальные углы.
В ромбе проведена диагональ . Определите вид треугольника и найдите его углы, если .
В ромбе , диагонали пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .
Определите вид четырёхугольника и найдите его периметр, если .
Диагонали ромба пересекаются в точке . Найдите углы и , если .
Известно, что четырёхугольник является ромбом. Докажите, что .
Один из углов ромба на больше другого. Найдите углы треугольника , если – точка пересечения диагоналей.
На рисунке – равнобедренный, точки и – середины его боковых сторон, – точка на основании, . Определите вид четырёхугольника и найдите его периметр, если см.
В ромбе . Найдите углы треугольника .
Сторона ромба образует с его диагоналями углы, разность которых равна . Определите углы ромба.
Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся как . Определите углы ромба.
Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся как . Определите углы ромба.
Найдите острый угол ромба , если высота , проведённая из вершины тупого угла, делит сторону пополам.
На каждой стороне ромба отложены, как показано на рисунке, равные отрезки . Определите вид четырёхугольника . Ответ объясните.
В ромбе из вершины тупого угла проведена высота к стороне , а из вершины тупого угла проведена высота к стороне . Определите взаимное расположение прямых и .
В равнобедренный треугольник вписан ромб , имеющий с ним общий угол. Найдите периметр ромба, если боковая сторона треугольника равна см.
В ромбе биссектриса угла делит сторону ромба пополам. Найдите тупой угол ромба.
Один из углов ромба равен . Найдите угол между меньшей диагональю ромба и его стороной.
В ромбе диагонали пересекаются в точке . Найдите углы ромба, если разность и равна .
В ромбе диагонали пересекаются в точке . Найдите углы ромба, если .
Периметр ромба равен , один из его углов . Найдите меньшую диагональ ромба.
Сторона ромба равна см, а острый угол равен . Из вершины тупого угла проведена высота, которая делит сторону на два отрезка. Найдите длины этих отрезков.
Диагональ ромба, лежащая напротив угла , равна . Найдите периметр ромба.
8