Что такое вертикальные углы и какие их свойства
Смежные и вертикальные углы.
Напомним, что угол – это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, имеющих общее начало. По своему взаимному расположению углы объединяются в группы. Две такие группы мы изучим сегодня.
Смежные углы.
Изобразим прямую , отметим на ней точку . Получили развёрнутый угол . Проведём произвольный луч с началом в точке .
Луч разделил развёрнутый угол на два угла: и . Эти два угла и являются смежными.
Определение.Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке сверху – общая сторона, и – дополнительные полупрямые. (Напомним, что дополнительные полупрямые – это две полупрямые, лежащие на одной прямой, имеющие общее начало и направленные в разные стороны).
Поскольку смежные углы вместе составляют развёрнутый угол, то они обладают следующим свойством:
ТЕОРЕМА: Сумма смежных улов равна .
Дано: и – смежные
Доказать:
Доказательство.
По определению смежных углов, луч является общей стороной углов и , значит, он проходит между сторонами угла . По аксиоме V (градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается каким-нибудь лучом, проходящим между его сторонами) можем записать равенство:
Опять-таки, по определению смежных углов, лучи и – дополнительные, значит, образуют развёрнутый угол . А развёрнутый угол имеет градусную меру, равную . Значит,
ч.т.д.
Из этой теоремы выходят три следствия, которые предлагаются для самостоятельного доказательства.
Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны.
Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Следствие 3. Угол, смежный с острым углом, — тупой; угол, смежный с тупым углом, — острый.
Вертикальные углы.
Проведём две прямые и , пересекающиеся в точке . Среди всех получившихся углов обратим внимание на те углы, стороны которых являются дополнительными полупрямыми.
Определение. Вертикальными называются два угла, у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого угла.
На рисунке луч является дополнительным к лучу , а луч – дополнительным к лучу . Значит, и – вертикальные. Аналогично, и – тоже вертикальные. Т.е., при пересечении двух прямых получается две пары вертикальных углов. Визуально вы, наверное, заметили, что вертикальные углы равны. А теперь мы это докажем.
ТЕОРЕМА: Вертикальные углы равны.
Дано: и – вертикальные,
и – вертикальные
Доказать: и
Доказательство.
1. – развёрнутый, значит, . Луч проходит между его сторонами, т.е.
2. – развёрнутый, значит, . Луч проходит между его сторонами, т.е.
3. Рассмотрим последние равенства из пункта 1 и пункта 2:
Здесь мы использовали логическую связку: «Если в двух равенствах правые части равны, значит, равны и левые части».
Аналогично доказывается равенство углов . Предлагаю это доказательство провести самостоятельно.
Теорема доказана.
Укажите, на каком рисунке изображены смежные углы.
На прямой отмечена точка , из которой проведены два луча и . Назовите пары смежных углов, которые вы видите на этом рисунке.
Угол смежный с углом , равен . Найдите угол .
Поставьте нужные обозначения и выпишите углы, смежные с углом, изображённым на рисунке. Каким свойством они обладают?
Углы и – смежные. Угол больше угла в 4 раза. Найдите угол .
Из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, меньший угол равен . Найдите остальные углы.
Нарисуйте угол. Постройте смежный с ним угол. Сколько таких углов можно построить?
Нарисуйте луч . Нарисуйте ещё два луча так, чтобы вместе с данным они образовали смежные углы.
Найдите угол, смежный с углами: .
Нарисуйте два смежных угла. Какая фигура является их пересечением? объединением?
Найдите смежные углы, если:
один из них на больше другого;
их разность равна ;
один в 5 раз меньше другого;
они равны.
12. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как:
.
Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют в сумме ?
На рисунке . Найдите .
Из двух смежных углов один больше другого на . Найдите больший их этих углов.
На рисунке . Найдите .
Углы и являются смежными. Угол равен . Найдите угол .
Из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, больший угол равен . Найдите остальные углы.
Три прямые пересекаются в точке . Найдите сумму углов 1, 2 и 3.
На рисунке . Найдите .
Укажите, на каком рисунке изображены вертикальные углы.
Углы и – смежные, при этом угол меньше угла на . Найдите угол .
Сколько различных углов образуется при пересечении двух прямых? Какими свойствами они обладают?
Сколько пар вертикальных углов и сколько пар смежных углов изображено на рисунке? Назовите их.
Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен . Чему равны остальные углы?
Докажите, что если один из четырёх углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, имеет величину , то величины трёх остальных углов также равны .
Сумма величин двух вертикальных углов равна . Найдите величину каждого из них.
Из двух смежных углов один больше другого на . Найдите меньший их этих углов.
На рисунке . Найдите .
Один из смежных углов равен . Чему равен второй угол?
На рисунке изображены три прямые, проходящие через одну точку . Соотношения величин трёх из шести образовавшихся углов указаны на рисунке. Найдите их градусные меры. Чему равен наименьший из них?
Нарисуйте два угла и , имеющие общую сторону и общую вершину так, чтобы они были а) смежными; б) не смежными.
Найдите , если:
на меньше, чем
в 3 раза меньше, чем
величины углов и относятся, как т.е.
Даны пары смежных углов: , причём, луч – биссектриса . Известно, что . Сделайте чертёж и найдите градусную меру .
Даны углы и . Какой может быть величина угла ? Сделайте чертёж.
Один из двух вертикальных углов равен . Найдите второй угол.
На рисунке изображены три прямые, проходящие через одну точку . Соотношения величин трёх из шести образовавшихся углов указаны на рисунке. Найдите их градусные меры. Чему равен наибольший из них?
Нарисуйте два угла, имеющие общую вершину так, чтобы сторона одного из этих углов являлась бы дополнительной прямой к стороне другого угла, и так, чтобы они были: а) вертикальными; б) не вертикальными.
Найдите , если:
на меньше, чем
в 2 раза меньше
величины углов и относятся как т.е.
Даны две пары смежных углов: , причём, луч – биссектриса , а луч – биссектриса . Сделайте чертёж и найдите градусную меру .
Даны углы и . Какой может быть величина угла ?
На рисунке изображены три прямые, проходящие через одну точку . Соотношения величин трёх из шести образовавшихся углов указаны на рисунке. Найдите их градусные меры. Чему равен наибольший из них?
Нарисуйте два угла и , имеющие общую сторону и общую вершину так, чтобы они были: а) смежными; б) не смежными.
Найдите , если:
на меньше, чем
в 2 раза меньше
величины углов и относятся как т.е.
Даны две пары смежных углов: , причём, луч – биссектриса . Известно, что . Сделайте чертёж и найдите градусную меру .
Даны углы и . Какой может быть величина угла ? Сделайте чертёж.
На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов и .
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых в 4 раза меньше суммы остальных трёх углов. Найдите все эти четыре угла.
На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов и .
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых относится к сумме трёх других как . Найдите эти четыре угла.
На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов и .
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых в 2 раза больше суммы двух других углов. Найдите все эти четыре угла.
Смежные углы относятся, как . Найдите эти углы.
Один из смежных углов больше другого на . Найдите эти углы.
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла меньше развёрнутого. Найдите эти углы, зная, что один из них на больше половины другого.
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла меньше развёрнутого. Найдите эти углы, зная, что градусные меры двух из них относятся как .
Прямые и пересекаются в точке . Внутри угла взята точка , а внутри угла – точка . .
Найдите углы и .
Являются ли углы и вертикальными? Ответ объясните.
Развёрнутый угол делит плоскость на две полуплоскости. Точка лежит в одной полуплоскости, а точка – в другой; .
Равны ли углы и ? Ответ объясните.
Являются ли углы и вертикальными? Ответ объясните.
Найдите величины углов, образованных при пересечении двух прямых, если один из них равен .
Найдите величины углов, образованных при пересечении двух прямых, если:
один из них на больше другого;
один из них составляет половину другого;
сумма величин двух из них равна .
Один из углов, которые образуются при пересечении двух прямых, на меньше другого. Найдите эти углы.
Найдите углы, которые образуются при пересечении двух прямых, если сумма трёх углов равна .
Дан угол со сторонами и . Проведите полупрямую , дополнительную к . Чему равен угол со сторонами и ? Какими являются углы со сторонами и ?
На рисунке изображены три прямые, пересекающиеся в точке . Найдите сумму углов .
На рисунке . Найдите углы .
Сумма вертикальных углов в два раза больше угла, смежного с обоими. Найдите эти углы.
На плоскости расположены четыре прямые. Известны углы между некоторыми из них: . Найдите углы между остальными парами прямых.
Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна .
Точка лежит на биссектрисе угла , а точка лежит внутри угла, смежного с углом . Найдите угол , если .
Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как .
Точка лежит на биссектрисе угла , а точка лежит внутри угла, вертикального по отношению к углу . Найдите угол , если .
Сумма градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Сумма градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Разность градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Разность градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Градусная мера одного из смежных углов в три раза больше другого. Найдите градусную меру большего из смежных углов.
Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .
Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .
Сумма градусных мер вертикальных углов равна . Найдите градусные меры каждого из этих углов.
Сумма градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Разность градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Разность градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Градусная мера одного из смежных углов в семь раз больше другого. Найдите градусную меру большего из смежных углов.
Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .
Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .
Один из смежных углов на меньше другого. Найдите эти смежные углы.
Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна .
Один из смежных углов в 11 раз больше другого. Найдите эти смежные углы.
Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна .
С помощью транспортира начертите угол, равный , и проведите биссектрису смежного с ним угла.
С помощью транспортира начертите угол, равный , и проведите биссектрису смежного с ним угла.
На плоскости проведены четыре попарно пересекающиеся прямые. Укажите пары смежных углов.
Углы и – смежные. Угол на больше угла . Найдите угол . Сделайте чертёж.
Из точки выходят четыре луча и . Каждый из углов и является смежным с углом . Найдите угол , если угол равен . Сделайте рисунок.
Углы и – смежные, луч – биссектриса угла . Найдите угол , если . Сделайте рисунок.
На рисунке и . Найдите угол 1.
Найдите угол, если сумма двух смежных с ним углов равна .
На плоскости проведены четыре попарно пересекающиеся прямые. Укажите пары смежных углов.
Углы и – смежные. Угол в 3 раза больше угла . Найдите угол . Сделайте чертёж.
Из точки выходят четыре луча и . Лучи и лежат на одной прямой, а углы и – смежные. Найдите угол , если угол равен . Сделайте рисунок.
При пересечении прямых и образовались четыре угла. Углы и – вертикальные, луч – биссектриса угла . Найдите угол , если . Сделайте чертёж.
На рисунке и . Найдите угол 4.
Один из смежных углов в пять раз больше другого. Найдите эти углы.
12
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.
Сумма смежных углов равна 180°
Рис.1
Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .
Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Вертикальные углы равны
Рис.2
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).
Теорема 2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1
∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.
Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.
Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Рис.3
Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.
АН — перпендикуляр к прямой
Рис.4
Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.
Чертежный угольник
Рис.5
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).
Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.
Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».
Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?
Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x, тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.
Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?
Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° — ∠ COD = 180° — 45° = 135°.
Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.
Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.
Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.
Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол
АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° — 50° = 130°.
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°.
Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.
Вертикальные углы — это пары углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого
3. Задача по теме «Отрезок. Измерение отрезков «.
На отрезке OD, длина которого 24 см, отмечена точка A. Найдите длину отрезка AD, если отрезок OA на 8 см длиннее отрезка AD.
Билет № 18
Прямоугольный треугольник (определение). Катет. Гипотенуза. Свойства прямоугольного треугольника (без доказательства)
Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами прямоугольного треугольника, а сторона, противолежащая прямому углу – гипотенузой прямоугольного треугольника.
1. Сумма острых углов равна 90
2. Катет лежащий против угла 30 равен половине гипотенузы
3. Обратная теорема: Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против него равен 30
Построение угла, равному данному.
Отложить от данного луча угол, равный данному.
Решение. Данный угол с вершиной А и луч ОМ
Проведем произвольную окружность с центром в вершине О данного угла. Пусть В и С — точки пересечения окружности со сторонами угла (рис а). Радиусом ОВ проведем окружность с центром в точке О — начальной точке данного луча (рис. б). Точку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим С1. Опишем окружность с центром С1 и радиусом ВС. Точка В1 пересечения двух окружностей лежит на стороне искомого угла. Это следует из равенства Δ ОBC = Δ ОВ1С1(третий признак равенства треугольников).
2. Задача по теме «Внутренние и внешние углы треугольника «.
Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 130º. Найдите острые углы треугольника
Билет № 19
Отрезок (определение). Длина отрезка. Основное свойство измерения отрезков.
Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, т.е. она имеет начало и конец, а значит можно измерить её длину
Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка .
1.Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.
2.Длина отрезка равняется сумме длин частей, на которые он разбивается любой своей внутренней точкой.
3.При этом, если точки A и B совпадают, будем считать, что расстояние между ними равно нулю.
4.Два отрезка называются равными, если равны их длины.
Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника.
Теорема
В треугольнике:
1) против большей стороны лежит больший угол;
Против большего угла лежит большая сторона.
1) Дано: ∆ ABC, AC>AB.
Доказать: ∠B>∠C.
Доказательство:
Отложим на стороне AC отрезок AK: AK=AB.
Так как AC>AB, то точка K лежит между точками A и C. Следовательно, ∠ABC=∠ABK+∠KBC, то есть ∠ABC>∠ABK.
Так как AK=AB, то треугольник ABK — равнобедренный с основанием BK.
Значит, у него углы при основании равны: ∠ABK=∠AKB.
Для треугольника BCK ∠AKB — внешний.
Поэтому ∠AKB=∠KBC+∠C, а значит, ∠AKB>∠C.
Имеем:
2) Дано: ∆ ABC,
∠B>∠C.
Доказать: AC>AB.
Доказательство:
(методом от противного).Предположим, что неравенство AC>AB — неверное. Тогда либо AC=AB, либо AC<AB.Если AC=AB, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC и у него углы при основании равны: ∠B=∠C, что противоречит условию.По доказанному в пункте 1), против большей стороны лежит больший угол. Поэтому, если AC<AB, то ∠B<∠C. Снова пришли к противоречию.Значит, выдвинутое нами предположение неверно. Следовательно, AC>AB.
Что и требовалось доказать.
3. Задача по теме «Виды треугольников «.
Периметр равностороннего треугольника DEK равен 18 см. Найдите стороны треугольника DEK .
Билет № 20
Угол (определение). Развернутый угол. Внутренняя и внешняя область угла.
Рекомендуемые страницы:
Воспользуйтесь поиском по сайту: